Zampe e teste

Ecco qui alcune varianti sull'antico tema: contare le zampe degli animali. Si tratta di piccoli giochi coi numeri sperimentati in questi ultimi giorni con mia figlia, a cui non piace un granché andare a scuola, ma che si diverte a contare.
Nella versione diretta del gioco si pongono domande del tipo: "Hai due gatti e tre galline; quante zampe ci sono?"
Però si può rovesciare la domanda: "Hai dei gatti e delle galline; come li scegli per fare otto zampe?" Questa variante inversa è un po' più difficile e, in genere, la soluzione non è unica. Nell'esempio, possiamo prendere un gatto e due gallina; ovvero quattro galline: o due gatti.
Alla non unicità della soluzione si rimedia facendo entrare in gioco le teste. "Sempre con gatti e galline, devi ottenere otto zampe, ma impiegando tre teste." Né due gatti, né quattro galline: l'unica soluzione è avere un gatto e due galline.
Se il bambino o la bambina sono pronti ad affrontare qualche frustrazione, si può dar loro qualche problema impossibile. Per motivi di parità, tale è il problema di ottenere cinque zampe (a meno di non poter utilizzare, per esempio, gatti invalidi). Sostanzialmente per lo stesso motivo, non si produrranno ventidue zampe utilizzando gatti e ragni. Diverso è il motivo per cui, avendo gatti e galline, non possiamo ottenere quattordici zampe con tre teste.
Un problema simile, ma con un diverso ordine di astrazione, chiede di produrre dieci zampe con gatti e galline, utilizzando il minor numero di animali.
E via andando, tirando dentro mosche e ragni per avere più varietà di situazioni.



Per i lettori molto esigenti.

Un cenno sulla teoria soggiacente. Il problema di trovare un numero X di gatti e uno Y di galline che diano -p.es.- dieci zampe si formalizza con

4X+2Y=10.

Si tratta di un'equazione di primo grado con due incognite, e molti penseranno: 'ah, ha infinite soluzioni!' Invece no, perchè -ovviamente- non accettiamo mezzi gatti e quarti di gallina (non siamo in macelleria!), ne' galline negative. Vogliamo che X e Y siano numeri interi, non negativi, e questo riduce le soluzioni a un numero finito.

Quando inroduciamo il conto delle teste, aggiungiamo un'equazione. P.es., dodici zampe e quattro teste diventa:

4X+2Y=12 e X+Y=4.

Questo sistema di due equazioni in due incognite non può avere più d'una soluzione.


Finisco con una nota storica. Equazioni come quelle che soggiacciono al giochino vennero studiate estesamente da Diofanto d'Alessandria, matematico d'epoca ellenistica. In generale, diofantee sono le equazioni di qualsiasi grado di cui si cercano soluzioni intere. Quest'ultima richiesta è quella che rende la teoria delle equazioni diofantee assai complessa e lungi dall'essere completa.
Un esempio: non esistono numeri interi positivi X,Y e Z tali che la somma dei cubi di lato X e Y uguagli il volume del cubo di lato Z. Si tratta d'un caso particolare del celebre ultimo teorema di Fermat.